שיקולי תחום דינמי במגברים דלי רעש

מאת: פרופ’ יוסף פנחסי

במערכות תקשורת ומכ”מ נעשה שימוש במגברים דלי רעש (LNA) בעיקר לצורך שיפור רגישות שרשרת הקליטה. במגבר, המבוסס על רכיבים אלקטרוניים שהנם בעלי אופיין לא לינארי, מבחינים בין שלושה אזורי פעולה: התחום הלינארי באות קטן (Small signal), תחום הפעולה באות גדול ואיזור הרוויה. על מנת להבין את התופעות העולות מאי הלינאריות של המערכת, הוצגו מודלים המאפשרים לחשב את האותות המתקבלים במוצא המגבר כתגובה לערור במבוא שלו באופן אנליטי.

מטרת מאמר זה לסקור את הנושא בכללותו. נציג תחילה מודל לא לינארי מקובל למגבר ונבחן את התגובה שלו לטון סינוסי בתדר בודד ולשני טונים. בהמשך נדון בתחום הדינמי של מערכת המורכבת משרשרת מגברים המחוברים באופן עוקב, נציג שיקולי תכנון של הפרמטרים שלהם ונפתח תוצאה מעניינת לקבלת תחום דינמי מקסימלי.

1. אופיין מגבר באות גדול
במערכות אלקטרוניות העושות שימוש ברכיבים בעלי אופיין שאינו לינארי, האופרטור המקשר בין האות המתקבל במוצא כתגובה לעירור במבוא אינו מקיים את תכונות הסופרפוזיציה. כתוצאה מכך, לא ניתן לבטא את התנהגות המערכת באמצעות קונבולוציה עם תגובה להלם בתחום הזמן או על ידי פונקציית תמסורת בתחום התדר. במגברים, האות שמתקבל במוצא אינו יחסי לאות הכניסה, אלא פונקציה לא לינארית שלו. תיאור מגבר כמערכת בעלת הגבר קבוע הוא בהנחה שאות קטן (Small signal) מוזן לכניסה, קירוב שמאבד מתקפותו ככל שהאות גדל. נתייחס למגבר המתואר באיור 1, ובו עירור  מוזן למבוא. הביטוי לתגובה    המתקבלת במוצא ניתן כפיתוח לטור Taylor על ידי הפולינום:

בביטוי זה  הוא הרמה של רכיב ה- DC שמתקבל במוצא, ו-  הוא ההגבר לאות קטן של המגבר. שאר המקדמים  של החזקות הגבוהות  מאפיינים את ההתנהגות הלא לינארית של המגבר באות גדול.

2. עוותים הרמוניים
נניח שאות סינוסי (Tone) בתדר בודד   מוזן למבוא המגבר:

משרעת הטון היא  והספקו הממוצע הוא . נציב את הטון בביטוי לאופיין המגבר ונקבל שהאות במוצא   כולל אוסף של טונים בתדרים שהם כפולות שלמות של התדר היסודי (Fundamental) . זוהי למעשה הצגה של האות במוצא כטור Fourier באמצעות ההרמוניות (Harmonics) של הטון במבוא. החזקות הזוגיות בפיתוח אופיין המגבר לטור Taylor הן האחראיות ליצירת הרמוניות בכפולות זוגיות של התדר היסודי והחזקות האי-זוגיות להרמוניות בכפולות האי-זוגיות שלו. היווצרות הרמוניות במוצא מגבר מעידה על אי לינאריות של האופיין שלו הגורם לעיוות באותות המוגברים באמצעותו. האות המתקבל במוצא מערכת לא לינארית כתגובה לטון סינוסי בתדר  המוזן למבוא שלה, הוא מחזורי עם מחזור של  . אות זה ניתן להצגה כטור Fourier:

מקדמי הפיתוח של הטור הם הקבועים המרוכבים:

ו-  הם המופעים של ההרמוניה מסדר  . רמת ה- DC של האות במוצא היא הממוצע בזמן של   על פני מחזור אחד:

והערך היעיל שלו מתקבל מתוך מיצוע של הריבוע  :

ה- THD (Total Harmonic Distortionהוא מדד לכמות ההרמוניות באות ביחס לרכיב האות בתדר היסודי, ומוגדר:

כאשר  הם הספקי התוצרים ההרמוניים המתקבלים במוצא.

3. מודל אי לינאריות מסדר שלישי
על מנת לפשט את הניתוח נניח שלמגבר אופיין אנטי-סימטרי באות הכניסה. המשמעות לכך היא שקיימות רק חזקות אי-זוגיות בפיתוח שלו לטור Taylor. פישוט נוסף מתקבל על ידי צמצום הביטוי למודל הכולל פיתוח עד לסדר שלישי בלבד:

ההגבר הדינמי הוא שיפוע האופיין המתקבל מהנגזרת:

השיפוע הוא אפס, כאשר האות בכניסה שווה ל- . זוהי רמת אות הכניסה המביאה את המגבר לרוויה (Saturation). המודל תקף כל עוד מתקיים  , ובתחום זה ניתן להציג את אופיין המגבר:

כמתואר באיור 2. באות קטן  ניתן להזניח את האיבר הלא-לינארי בפיתוח, ומתקבל קשר יחסי קבוע בין האות במוצא לאות בכניסה המתואר באיור בקו הישר.

4. תחום דינמי בטון בודד
נניח טון סינוסי בודד (Single tone) בתדר  המוזן למבוא המגבר. הביטוי לאות במוצא מתקבל תוך שימוש בזהויות טריגונומטריות2:

האות במוצא כולל שני רכיבים, טון בתדר היסודי  והרמוניה שלישית שלו בתדר . הספק הטון בתדר היסודי הוא:

כאשר  הוא הגבר ההספק באות קטן ו-  הוא ההספק הממוצע של הטון בכניסה, אשר משרעתו מביאה את ההגבר לנקודת הרוויה. מגדירים Input Back-Off כיחס בין הספק האות במבוא להספק הרוויה:

ככל שההספק   של האות המוזן למבוא המגבר גדל, ומצטמצם התחום עד לרווייה (כלומר ה- IBO קטן), ההגבר יורד. תופעה זו מכונה דחיסת הגבר (Gain compression). דחיסת ההגבר מתבטאת בכך שמתקיים:

בנקודת דחיסה  (1dB compression point), הספק האות בכניסה הוא כזה שהספק האות המתקבל במוצא בתדר היסודי יורד ב- 1dB ביחס לזה שהיה מתקבל בהנחת הגבר לינארי כשל אות קטן. בנקודה זו, הספק האות בכניסה ניתן לחישוב מתוך:

ומתקבל:

במודל לא לינארי מסדר שלישי של מגבר, מתקבלת דחיסה של 1dB בהספק המוצא בנקודה שבה הספק הטון במבוא הוא 43.5% מההספק המביא את המגבר לרוויה כלומר עבור , כמתואר באיור 3. נקודת דחיסה 1dB קובעת בדרך כלל את גבול הלינאריות של המגבר. התחום הדינמי (Dynamic Range) של המגבר מוגדר כתחום הלינארי מעל לרמת הרעש עד לנקודת דחיסה 1dB:

הספק תוצר ההרמוניה שלישית:

הספק הטון במבוא למגבר עבורו הספק ההרמוניה השלישית משתווה להספק האות בתדר היסודי  הוא    . נקודה זו ממוקמת 10.8dB מעל להספק הרוויה כמתואר באיור 3.
העיוותים ההרמוניים נתונים על ידי:

כמתואר באיור 4. עבור , כלומר כאשר  מתקבל במודל זה עיוות מְרבי של .

בעיית העיוותים ההרמוניים מתבטאת פחות ככל שתחום התדרים שבו פועלת המערכת גבוה. זאת משום שהמערכות הן מוגבלות פס בטבען, ואינן מכסות תחום תדרים כה רחב המגיע עד להרמוניה השלישית, שלמעשה מסוננת באופן ניכר. הבעיה המשמעותית יותר היא הופעת תוצרים, אשר עלולים להימצא בתוך תחום התדר כפי שקורה בעת קליטת שני טונים.

5. אפנון הדדי
(Inter-modulation)
נניח שבמבוא המגבר מופיעים שני טונים בשני תדרים שונים 

ההספקים של כל אחד מהטונים הם בהתאמה.  במוצא מתקבל האות:
מעיון בתוצאה האחרונה ניכרים במודל זה תוצרים בתדרים היסודיים  ו- ,

בהרמוניה השלישית  ו-  שלהם ובצירופים  ו-  הנקראים תוצרי אפנון הדדי מסדר שלישי (3rd order inter-modulation products). הספקי הטונים המתקבלים בתדרים היסודיים הם:תוצרי האפנון ההדדי הקרובים לתדרים היסודיים ועלולים להפריע הם בתדרים   ו-  , והם מרוחקים במרווחים שווים זה מזה כמתואר באיור 5. ההספקים שלהם:

מגדירים עיוותי אפנון הדדי (Inter-modulation distortion):

אם במבוא שני הטונים הם במשרעת זהה   , אזי ההספקים שלהם  שווים:

ההספק  הוא ההספק של כל אחד מהטונים. ההספק הכולל המוזן למגבר הוא לכן כפול מזה . ההספקים של התוצרים המתקבלים במוצא:

התוצרים שמחולל המגבר מוצגים בתחום התדר באיור 6. ההספקים שלהם כפונקציה של הספק המבוא נתונים באיור 6.
נקודת פגישה מסדר שלישי  (3rd order intercept point) הוא הספק הכניסה , עבורו הספק תוצרי האפנון ההדדי הנוצר משני טונים המוזנים למגבר בהספק שווה, משתווה להספק האות בתדר היסודי  :

היחס בין נקודת פגישה מסדר שלישי בשני טונים לנקודת דחיסה 1dB (בנוכחות טון אחד) הוא:

כמתואר באיור 7. עיוותי אפנון הדדי המתקבלים במקרה זה הם:

ההספק המתקבל במוצא בנקודת הפגישה מסדר שלישי הוא:

6. ערב אפנון
(Cross-modulation)
נניח במבוא המגבר שני אותות סינוסואידלים בשני תדרים. האחד גל מאופנן בתדר נושא , אשר המעטפת שלו  משתנה בזמן, והשני הוא טון CW בתדר  בעל משרעת קבועה :

במוצא מגבר לא לינארי מתקבל האות המורכב הבא:

מבחינה של הביטוי האחרון עולה, כי בנוסף לתוצרי אפנון הדדי, במוצא המגבר הופיע אות מאופנן בתדר , בעוד שבמבוא האות בתדר זה היה במקורו טון CW בעל מעטפת קבועה. תוצאה זו נקראת ערב אפנון (Cross-modulation).

7. שתי מערכות בטור (Cascade)
נתייחס לחיבור שני מגברים באופן עוקב (Cascade), כמתואר באיור 8. כל אחד מהמגברים  מאופיין על ידי הגבר הספק לאות קטן, ספרת רחש ותחום דינמי המוגבל על ידי תכונות הרוויה של המגבר.

נדון תחילה באופיינים הלא-לינאריים של המגברים ונבחן את השפעתם על האותות. בהנחת מודל מסדר שלישי, האות המתקבל במוצא המגבר הראשון כתגובה לעירור  במבוא שלו הוא:

במוצא המגבר השני:


בהתייחס לשני האיברים הראשונים ניתן לראות, כי הגבר המתח לאות קטן של המערכת כולה הוא  וכן . מתוך שני הפרמטרים האלה ניתן לחשב את מתח הרוויה של המערכת כולה:

ומכאן את הספק הרוויה:

נקודת דחיסה 1dB:

ונקודת פגישה מסדר 3:

התוצאות האחרונות מראות, כי הגבר המגבר הראשון משתתף בקביעת לינאריות המערכת, ורצוי שיהיה נמוך ככל האפשר. זאת על מנת שלא יפיק אות מוגבר מדי, שיביא את הדרגה העוקבת לו לפעולה בתחום הלא לינארי שלה. מסקנה זו הפוכה מזו מתקבלת עבור ספרת הרחש הכוללת של שתי מערכות בטור:

ועל פיה רצוי שהדרגה הראשונה תהיה בעלת הגבר גבוה דווקא. שתי תוצאות סותרות אלה מרמזות על כך שקיים הגבר אופטימלי לדרגה הראשונה, כזה שיקבע תחום דינמי מקסימלי. התחום הדינמי של המערכת השלמה נתון על ידי:

נגזור את הביטוי האחרון, נשווה ל-  , ונחלץ את ההגבר האופטימלי:

שכדאי לקבוע על מנת לקבל תחום דינמי מרבי:

לצורך דוגמה, נתייחס לשרשרת הכוללת מגבר דל-רעש (LNA) המעביר אות למקלט באמצעות קו תמסורת המחבר ביניהם, כפי שתואר באיור 9. ל- LNA הגבר הספק GLNA (באות קטן) וספרת רחש FLNA. הספק הכניסה הגורם לדחיסה של 1dB בהגבר של ה- LNA שווה ל- . קו התמסורת מהווה למעשה מנחת פסיבי המנחית את ההספק פי L אל מקלט בעל ספרת רחש F ונקודת דחיסה המתקבלת בהספק כניסה של  . בהתאם לניתוח שנעשה לעיל, התחום הדינמי של כל המערכת נתון על ידי הביטוי:

והוא מקבל את ערכו המרבי כאשר הגבר ה- LNA הוא:

פרופ’ יוסף פנחסי הוא דקן הפקולטה להנדסה במרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון. מאמר זה מבוסס על הספר שכתב “היסודות הפיזיקליים של התקשורת האלקטרונית” שהופיע בהוצאת “אלפא”
(ISBN 978-965-7376-08-9).