מערכי אנטנות כמסננות קלאסיות

מערכי אנטנות הם שורות או סריגים של מקרנים, שכל אחד מהם מעורר באמפליטודה ובפאזה כלשהם, כך שההתאבכות שלהם בשדה הרחוק יוצרת עקום קרינה רצוי. לעיתים קרובות מתכנני האנטנות משתמשים בפולינומים ידועים, בדומה לשימוש שעושים מתכנני מסננות RF בחוליות בדידות כדי לייצר עקום היענות רצוי בתדר. הפולינומים השימושיים ביותר במערכי אנטנות הם הבינום של ניוטון, פולינומי צ’בישב ופולינומי טיילור, אך גם בתרוורס, בסל ואחרים עשויים להועיל. במאמר זה נדגים את השימוש בפולינומים העיקריים ונציין בקצרה את הביוגרפיות של המתימטיקאי הרוסי צ’בישב, האסטרונום הגרמני בסל והמהנדס הבריטי בתרוורס.
הקדמה
מערכי אנטנות הם שורה או סריג של מקרנים, שכל אחד מהם מוזן בפאזה ובאמפליטודה מסוימים (ניתנים לתיאור על ידי מספר מרוכב), כך שבשדה הרחוק נוצרת תופעת התאבכות מלאה ומתקבל עקום קרינה משותף. פילוג הפאזות על פני האלמנטים הקורנים קשור בעיקר לכיוון האלומה המתקבלת ואילו פילוג האמפליטודות (“מישקול” המפתח) משפיע בעיקר עקום הקרינה ובכלל זה על רוחב האלומה ועל אונות הצד.
במערך בדיד שיש בו שורה של N אלמנטים קורנים מתקבל סיכום קוהרנטי או גורם המערך “Array Factor” על ידי הסכום:

(1)
כאשר:
an הם מקדמי הערור (אמפליטודה)
k מספר הגל ()
d המרחק בין מקרנים שכנים (קבוע)
הם מקדמי הערור (פאזה)
ניתן לעבור להצגה על ידי פולינום לפי:
(2)
(3)
כאשר המקרנים זהים זה לזה, מתקבל עקום הקרינה הכולל על ידי המכפלה של עקום הקרינה של האלמנט הבודד בעקום הקרינה של המערך. אנו רואים אפוא כי קיים דמיון רב בין תכנון מסננת רדיו קלאסית (שיש לה תגובת מערכת בציר הזמן ותגובת מערכת בציר התדר) לבין תכנון מערכי אנטנות. כשם שמתכנני מסננות בונים שורה של “חוליות” פיזיות ומהם מקבלים את עקום ההיענות בתדר, כך מתכנני האנטנות בונים שורה של ערורים על פני המיפתח ומקבלים מהם את עקום הקרינה המרחבי. ראוי לציין כי קיים הבדל בין מציאת עקום הקרינה בהינתן הפולינום המעורר (בעיית “אנליזה”) לבין מציאת הפולינום האופטימלי בהינתן הדרישות לגבי עקום הקרינה (בעיית “סינתזה”). מכאן גם ברור השימוש התדיר שעושים מתכנני האנטנות בתכן פולינומים קלאסיים מתחום מסננות התדר, ובעיקר בשמות הגדולים של Chebyshev, Taylor שהם שימושיים במיוחד, אך גם בפולינומים מסוג Bessel, Butterworth ואחרים.

המסננות הקלאסיות
עבור שורה לינארית של מקרנים, הערור הפשוט ביותר הוא הערור האחיד uniform illumination שהוא הערור המספק את אונת הקרינה הצרה ביותר האפשרית (גבול העקיפה) לפי:
(4)
כאשר אונת צד הראשונה מתקבלת בהתאמה לפונקצית ()sinc כלומר -13dB ויתר אונות הצד דועכות באופן מונוטוני ככל שמתרחקים מן האונה הראשית.
ערור ידוע המסלק כמעט לחלוטין את אונות הצד הוא העירור הבינומי Binomial Illumination אשר גורם המערך שלו הוא :
(5)
ובו הפולינום האופייני או יחסי האמפליטודות נקבעים לפי משולש פסקל כדלקמן:

…
הערור הבינומיאלי אמנם מסלק את אונות הצד אך מישקול המערך הוא חזק מאד ולכן ניצול השטח אינו יעיל, במילים אחרות עבור שטח אנטנה נתון מתקבלת אלומה ראשית רחבה למדי. בין הערור האחיד לבין הערור הבינומיאלי קיימים מספר רב של מצבי ביניים המהווים פשרה הנדסית סבירה בין רמת אונות צד נמוכה לבין רוחב אלומה מספיק צר. מצבי ביניים אלו מתוארים על ידי משפחות של פולינומים שונים.
טכניקה מקובלת מאד בתכנון מערכי אנטנות, הנקראת על שם Dolph-Chebyshev מסתמכת על פולינומים מהסוג הראשון של Chebyshev הניתנים לרישום על ידי:
(6)
או בדרך אחרת על ידי:
(7)
גורם המערך יינתן במקרה זה על ידי:

(8) 

n even

(9) 
n odd
כאשר
(10) 

והפולינומים המתקבלים הם פולינומי צ’בישב הקלאסיים

סוג אחר של פילוג על פני המערך ניתן על ידי טיילור ובו משיגים את הרמה הנמוכה ביותר של אונות הצד עבור רוחב אלומה נתון. הפיתוח המתימטי של פילוג טיילור הוא מורכב למדי וניתן למצוא אותו במראי המקום. נסתפק כאן בקירוב כללי של פילוג הערור על פני המפתח לפי:
(11)
Io היא פונקצית בסל מסדר 0
L גודל האנטנה
B פרמטר הקשור לאונות הצד הדרושות
וגורם המערך המתקבל הוא
(12)
כאשר

נציין לבסוף כי הפולינומים המפורסמים על שם Butterworth (מעבר חלק ואידאלי בתחום ההעברה הרצוי) ועל שם Bessel (אחידות מכסימלית של הפאזה בתחום ההעברה הרצוי) מבוקשים אמנם בתחום מסננות הרדיו אך אינם נפוצים בתחום הסינתזה של מערכי אנטנות.

הדגמת עקומי קרינה
כאמור, עקומי הקרינה הנפוצים ביותר של מערכי אנטנות מתקבלים על פי הפולינומים של צ’בישב ועל פי ערור טיילור. נדגים את היישום שלהם עבור שורה לינארית של 16 מקרנים איזוטרופיים, כאשר המרחק בין שכנים הוא 0.75 אורכי גל, כלומר אורך השורה הוא 12. שימוש בתוכנת PCAAD מאפשר להציג את עקומי הקרינה השונים. נפתח תחילה בהארת מפתח אחידה (איור 1) כאשר אונת הצד הראשונה המוצגת באיור היא -13dB ואילו רוחב האלומה הוא 4.20.
שימוש בערור chebyshev מנוסח על פי אונת הצד הראשונה. איורים 2-4 מציגים את עקומי הקרינה עבור אונת צד ראשונה כאשר רוחבי האלומה בהתאמה הם .
שימוש בערור Taylor מנוסח גם הוא על פי אונת הצד הראשונה הרצויה, אך ניתן לבחור גם את מספר אונות הצד הבאות הנמצאות באותה רמה כמו אונת הצד הראשונה. איורים 5-7 מציגים את עקומי הקרינה עבור אונת צד ראשונה נבחרת של (נבחר n=3) ורוחבי האלומה בהתאמה הם .

הביוגרפיה של פבנוטי צ’בישב
Pafnuty Lvovich Chebyshev (ויש הכותבים Tchebycheff) היה מתמטיקאי רוסי דגול שנולד בשנת 1821 בעיר Okatova שבמחוז Kaloga ונפטר בשנת 1894 בעיר St Petersburg. בילדותו למד בעיקר בבית ולימים ציין שהושפע מאד מלימודי המוסיקה שחינכו אותו לדיוק ולאנליזה. בשנת 1838 סיים בהצטיינות מיוחדת את לימודי המתמטיקה באוניברסיטה של מוסקבה ועבודת הגמר שלו עסקה בפתרונות מקורבים של משוואות אלגבריות בהשראת האלגוריתם של ניוטון.
צ’בישב המתעמק במחקרים מתמטיים טהורים שכללו נושאים בתורת המספרים, בחשבון דיפרנציאלי ובהסתברות. הוא סיים לימודי התואר השני והשלישי באוניברסיטה של סנט פטרסבורג ונתמנה שם בשנת 1850 לפרופסור למתמטיקה. מבין תרומותיו הידועות ביותר ניתן לציין את אי השוויון הנקרא על שמו, לפיו בהינתן משתנה אקראי עם סטיית תקן , ההסתברות שיהיה שונה מן התוחלת בערך a קטנה מ- או בניסוח מדויק  . משפט ידוע אחר שהוכיח יחד עם Bertrand טוען כי עבור כל n>1 קיים מספר ראשוני p הנמצא בתחום n < p < 2n וכן הוא הוכיח כי אם לפונקציה יש גבול כאשר n אזי הגבול הזה שווה ל-1. הוא מספר הראשוניים עד n. מבין תרומותיו הרבות למדע יצא כי עבודה העוסקת בפתרון משוואות אלגבריות על ידי פולינומים מסוימים (הידועים כפולינומי צ’בישב) זכתה ליישומים הנדסיים רבים ובייחוד לשימוש בתכן מסננות חשמליות.

הביוגרפיה של פרידריך בסל
Friedrich Wilhelm Bessel מגדולי האסטרונומים והמתימטיקאים בכל הזמנים נולד בשנת 1784 בעיר מינכן בגרמניה ונפטר בשנת 1846 בעיר קניסברג בפרוסיה (כיום קלינינגרד רוסיה). בגיל 14 החל לעסוק בחישובים מסחריים של יבוא ויצוא סחורות בים וכך רכש מיומנות בחישובי ניווט ובחישובים אסטרונומיים. בגיל צעיר הצטרף למצפה הכוכבים שליד העיר ברמן וחישב את מסלולי כוכב השביט האלי. בהמשך התמנה למנהל המצפה האסטרונומי שליד העיר קניסברג וחישב בדיוק יוצא דופן את מסלוליהם של למעלה מ-3000 כוכבים.
בסל המציא את שיטת מדידת המרחק האסטרונומי על פי הפרלקסה שהיא מאבני היסוד של חקר השמים והיקום. על אף שלא רכש השכלה אקדמית פורמלית זכה בחייו לפרסים מדעיים רבים ממוסדות יוקרתיים בכל רחבי העולם. במהלך חקירותיו האסטרומיות פיתח שיטה מתימטית לחקירת משוואות דיפרנציאליות באמצעות טורים מסוגים שונים הידועים גם כפונקציות בסל. פונקציות בסל מהסוג הראשון ומהסוג השני משמשות לפתרון בעיות פיסיקליות והנדסיות רבות.
פונקציות בסל מן הסוג הראשון מוגדרות לפי:

היכן ש- היא פונקצית גמא ואילו a הוא מספר שלם (סדר הפונקציה).
פונקציות בסל מן הסוג השני מוגדרות לפי: 

הביוגרפיה של סטפן בתרוורס
Stephen Butterworth היה פיסיקאי בריטי מחונן שנולד בשנת 1885 בעיר Lancashire אנגליה (סמוך למנצ’סטר) ונפטר בשנת 1957. סיים תואר ראשון בפיסיקה בשנת 1907 ותואר שני בפיסיקה בשנת 1908 באוניברסיטת מנצ’סטר. לימד בקולג’ הטכנולוגי העירוני ועבד במשך שנים במעבדה הפיסיקלית הלאומית של בריטניה. בשנת 1921 הצטרף למעבדות המחקר של האדמירליות הבריטית ועסק במחקרים מסווגים הקשורים לשדות מגנטיים מתחת למים, מוקשים מגנטיים והגנה על צוללות. מאמריו הספורים עסקו במדידות אלקטרומגנטיות של סלילים, קבלים ומנועים ועיקר פרסומו נבע ממאמרו החשוב שפורסם בשנת 1930:
S. Butterworth, “On the theory of filter amplifiers”, Experimental Wireless and the wireless engineer, Vol. 7, pp, 536-541 (1930)
המסננת המפורסמת הקרויה על שמו מייצגת פונקצית מעבר אידאלית וחלקה, המכונה גם maximally flat שאין בה אדווה ripple בתחום המעבר. בתרוורס מצוטט כמי שאמר:
“An ideal electrical filter should not only completely reject the unwanted frequencies but should also have uniform sensitivity for the wanted frequencies”.
בהעדרה של תמונתו של בתרוורס ברשת האינטרנט, אין מתאים יותר מלהציג את הגרפים המקוריים של היענות הפילטר הידוע, כפי שהופיעו במאמרו הנ”ל. הגרפים נבדלים זה מזה במספר החוליות שמהן בנויה המסננת (ככל שמספר החוליות רב יותר כך השיפוע תלול יותר).